親権については、これまでの主たる監護者がどちらであったのか、お子様の年齢など様々な要素を考慮して判断されていきます。
その他、ご主人と女性が不貞関係にあると立証することができれば、慰謝料等も請求することが可能です。
詳しい事情について確認させていただく必要があるため、一度弁護士にご相談された方がよいと思います。

裁判実務上、親権者については、原則として出生から現時点までの子の主たる監護者を指定し、例外として主たる監護者の従前の監護状況に問題があるような場合に従たる監護者を親権者として指定するケースが多いかと思います。確かに、親権の判断にあたり、きょうだい不分離の要素も一応はありますが、あくまで補充的な要素で、主たる監護者がいずれかであるかという事情の方が重視される傾向にあります。そうすると、現時点までの娘さんの主たる監護者がご相談者で、かつ、特段これまでの監護状況に大きな問題がなく娘さんが健全な成長を遂げているのであれば、娘さんの親権を取得できる可能性は高いかと思います。

協議の場合には、相手が「親権を譲ってくれない限り離婚届に印鑑を押さない」と言う可能性が高いとは思います。調停であれば、夫側が親権を取るのは妻側に比べて難しくはありますが、不可能ではありません。妻に親権を認めることの不都合性を、証拠をもってできる限りたくさん主張する、子に対する育児の放棄などや子の率直な気持ちなどを証拠化できればよいと思います。慰謝料は不法行為をした場合に問題になるので、この場合には支払う必要はありません。

元夫が面会交流に応じないのであれば，まずは，面会交流調停を申し立てたらいかがでしょうか。
何故親権者変更が認められたかは分かりませんが，面会交流を行うことがお子さんの福祉に反する事情がないのであれば，面会交流は実施されるべきなので，しっかりと主張すべきだと思います。
調停を申し立てることに支障があるならば，弁護士に依頼し，代理人として元夫に面会交流を求める書面を送る，ということも考えられますが，交渉でうまくいかない場合，やはり調停または審判にせざるを得ないでしょう。

お子さんに「調停で話さないと」と言っているところからすると、離婚についての調停はもう申立てられているという状態でしょうか。親権争いで母親側が有利なことが多いと言っても、父親側にお子さんがいる状態が長く続き、かつお子さんの心身にも問題なくお子さんの面倒が見られていれば、裁判所は子どもの保護の状態や場所を変えるとかえって子どもの心身の安定によくないと考え、今保護している父親の方に親権を認める場合があります。お子さんの面倒が見られているかどうかは、実家の両親（お子さんにとっての祖父母）の助けが得られるということもプラスに働くことが多いです。むしろ、あなたとお子さんとの関係が良好であることを示すためにも、お子さんと面会できていないのであれば、面会交流の調停をこちらから申立ててはいかがでしょうか。

経済力の不足については、ご主人から養育費を支払ってもらうことでカバーすればよいのであって、経済力がないからというだけで親権が取得できないということはありません。
要はお子様にとって、父親に監護養育してもらうのが幸せなのか、母親に監護養育してもらうのが幸せなのかという観点で決められます。
ですのでお子様が産まれた後、あなたがお母様や妹の協力を得ながら、適切にお子様の監護養育を行っているという実績があれば、その実績が評価されます。
ただ気になるのは
>病院を変え旦那には伝えてません。出産も言わずにいるつもりです。
と書かれているところです。
この文脈からすると、お子様には父親のことはお子様から聞かれることがない限りは、何も話さないようにし、父親とお子様との面会交流も認めずに済ませたいということのようにお考えなのではないかと思われます。そのような片親疎外の対応はお子様の福祉にとって大きなマイナスです。
ご主人が特に求めないのであれば良いのですが、求めるようであれば面会交流にも応じるようにしていくことが肝要です。
その点、親権の取得に際してもマイナス要素として考慮されますので、ご注意ください。

親権喪失（または停止）の審判と未成年後見人の選任審判の申立てを同時に家庭裁判所に申し立てて、元夫の親権を喪失（または停止）させ、その代わりに祖父母を娘さんの未成年後見人に選任してもらうことで、祖父母が娘さんを監護養育することが可能になるかと思います。