慰謝料は、不法行為に基づく損害賠償（精神的苦痛に対する損害賠償）を意味しますので、基本的には違法行為であることが前提になります。
そして、彼女を傷つけた場合には、それが違法行為といえるかが問題になります。
夫婦喧嘩は、夫婦であれば必ず起こり得ることなので、通常は、違法行為になりません。
度が過ぎた暴言や、暴行は違法行為になりますが、夫婦喧嘩が発展したものに過ぎない場合は、違法行為として慰謝料を支払うことにならないことが多いです。

今回、「殺してやる」等の発言があり、それはどちらからの発言かよくわかりませんが、上記発言は、脅迫罪にあたるものであり、違法行為として慰謝料の対象になりますので、注意した方が良いでしょう。
仮に相手からの発言の場合には、録音等、記録に残る形にしておけば、離婚する時に慰謝料を請求できる可能性があります。

婚姻費用分担請求は、調停を申立てたのでしょうか。調停を申立てていなければ、すぐにこちらから、最初に請求をした時の証拠を出して、その日の分から請求しましょう。婚姻費用調停を申立てると、調停がまとまらなくても裁判所が審判を出してくれます。離婚調停を相手が起こしたのならば、養育費については、こちらの要求額を家計簿や生活費に使った額などを領収書などから算出してみて、主張すればよいと思います。何も主張しないと、お子さんが18歳までにされてしまいますので、お子さんが大学卒業時までかかる費用もシミュレートしてみるとよいと思います。あとは、財産分与も請求すればよいと思います。離婚調停は話し合いなので、あなたが合意しない限り離婚は成立しませんので、どんどんこちらの主張をしていけばよいと思います。慰謝料請求は、証拠がないと相手に認めさせることはできないと思います。

弁護士に依頼しているのであれば、委任契約書に報酬のことも記載していると思いますので、それを確認されるのが一番かと思います。
不明点あれば、その弁護士に聞いてみるのが一番かと。

なお、相場としては、４０万円～５０万円ほどと思いますが、それより安くても高くても問題にはなりません。

有責配偶者（不貞行為を行った側）からの離婚請求（裁判を起こした場合）について、裁判所はかなり厳しい条件（かなり長期の別居など）でしか離婚を認めていません。とすると、あなたが離婚に応じると言わない限り、相手は離婚することができないわけです。ただ協議や調停といった話し合いでは、結局あなたが応じるかどうかですので、あなたの立場の方が現在は上であることを考えて、条件を提示してもよいかもしれません。慰謝料については相手の年収から見て支払えない額を提示しても仕方がないかもしれませんので、このくらいとしてもよいかもしれません。財産分与は彼の預貯金などから出させてもよいかもしれません。養育費は、おそらく裁判所が決める場合の算定表で提示しているものと思われますが、話し合いならば算定表による必要はないので、現実にかかる費用を出してみて請求する方がよいと思います。お子さんたちが大学進学まで確保することも重要です。婚姻費用をもらいながら離婚協議を続けるという方法もありますので、婚姻費用調停をまず起こすというのも1つの手かもしれません。相手が面会交流の調停を起こすことは、あなたが彼の条件をのむのまないに関わらず可能性はあるので、恐れることはなく、あなたの希望を告げることです。

別居５か月目に離婚調停を申し立て，すでに不成立で終わったということでしたら，次は，離婚訴訟を提起することになります。
気になるのは，「不貞行為を認めるという書面」を送った，という点です。
これは，夫に対して，「元夫と不貞をした」という内容の書面を送ったという意味でしょうか。
それは事実なのか，夫に離婚を認めさせるために嘘なのか，どちらでしょうか。

貴方が離婚を希望する理由は，いずれも証拠があるようなものではないと思いますが，同居期間が５か月と短いこと，すでに別居して７か月が経過していることを考えれば，離婚訴訟において婚姻関係破綻が認められる可能性があるように思います。

そのため，元夫との間に不貞関係がないのであれば，離婚訴訟で争ってもよいと思います。

大変お困りだと思いますので、お答えします。
まずはおひとりで悩む必要はありませんので、お気軽にご相談くださいね。

継続はされるのでしょうが、離婚とセットで何かしら解決金をもらいたいところですね。
弁護士さんに依頼することも含めてご検討されてもいい気がします。

離婚には、協議、調停、訴訟の3種類があります。協議は当事者間の話し合い、調停は家庭裁判所での調停委員を介しての話し合いです。協議と調停はどちらを選んでもよいのですが、まずは協議をしてみる方が多いです。訴訟は調停を必ずやってからでないとできません。
話し合い段階（協議でも調停でも）では、どんな理由であっても、要は相手が応じてくれれば離婚できます。ただし、お子さんが小さいので、親権者を決める必要はあります。養育費や慰謝料、財産分与などは後で決めてもよいですが、普通はさっさと片付けてしまいたい方が多いので、一緒に話し合いをすることが多いです。
セックスレスやハラスメントも回数や期間の長さ、行為のひどさによっては慰謝料請求できますが、相手が素直に認めることはないでしょうから、証拠が必要です。
あなたのケースで慰謝料請求できるかは、どのようなハラスメントがあったかその内容、日時、回数、セックスを希望した日時、拒否された回数など具体的事案によりますので、これだけでは弁護士は判断できません。
弁護士が代理する際の費用は、自由化されていますので、各弁護士によって、また具体的事案によっても異なりますので、ここでは明記できません。