１．不倫関係の相手方に、その人の子であると認めさせるためには、DNA鑑定などをして、まずはその男性の子であることを確定させる必要があります。ただ問題なのは、現在、夫と婚姻関係にありながら別の男性との間に子どもができた場合には、その子の父親は夫である、と法律上は推定されることです。そうだとすると、あなたの夫からの嫡出否認の調停等が起こされないと、その子は夫の子であるままということになることです（そもそも認知ができない。）。
２．不倫関係にあった男性に対して、精神的苦痛などで慰謝料請求するためには、あなたが彼の行為によって苦痛を受けたことを立証する必要があります。
３．心配なのは、あなたの正式な夫との関係です。その子の本当の父親に認知してもらうためには、夫に不貞行為を告げないとできないということになるからです（嫡出否認の調停等は、夫からしか申立てできないため。）。夫に不貞行為の相手方との子を出産したことを告げざるを得ないということは、夫からの離婚請求のみならず慰謝料請求をあなたが受けることは、覚悟しなければなりません。

婚約の「不当破棄」に該当する場合，婚約破棄そのものに対する慰謝料額は概ね50～100万円程度と思われます。
慰謝料としては上記のとおりと考えますが，あなたは婚約破棄によって仕事（収入源）を失うことになるということ，それに伴い広告費用，会場費用が発生していること，違約金が発生することから，婚約の「不当破棄」に該当する場合は，慰謝料以外にも請求する余地はあるように思います。

問題は，婚約破棄に至った事情です。
「理解しあえない」というのは誰の考えか，どのような事情でそう思ったのか，理解し合うためにどのような努力をしたのか，等具体的な事情によって，「不当破棄」か否かを判断することになります。

他言無用を約束したとしても、法的な効力が認められるわけではありません。かりに、彼らが言いふらしたりしますと、あなたに対する名誉毀損に該当することになります。あまり心配することはないと思います。

彼は住民票をどこに置いているのでしょうか、住民票をあなたの自宅と同じところに置いているのであれば、弁護士であれば（役所はあなたが彼の住民票を取ることを認めないと思います。）、住民票に載っている本籍地から戸籍謄本を取り寄せれば彼の婚姻の有無は簡単に調べられます。彼の住民票の所在が分からなくてもパスポートや運転免許証に記載された住所から同じことはできます。慰謝料請求をするためには、彼が「自分が既婚者だという事をあなたは知っていたはずだ」と反論することや、彼の妻からあなたが慰謝料請求されることを防ぐためにも、同棲を始めた時期を特定して、そのころに彼が未婚であるとあなたに言ったことの証拠が必要だと思います。

お互いに親に紹介済みで、指輪も購入しているというのであれば、客観的に見ても婚約状態にあったといえます。相手の婚約破棄の理由が正当な理由がないのであれば、これによって生じた損害は物的、精神的なもの（慰謝料）を含めて、相手に賠償の請求ができます。具体的な損害は、例えば婚姻後に住むところを解約せざるを得なくなった場合のその損害、結婚式場を予約していたなどの場合にはそれにかかった費用、退去にかかった費用などはそれにあたります。慰謝料も請求できますが、不貞行為の場合などに比べると、それほどの額が認められるわけではありません。相手との生活費分担の合意に基づく分担分未納分の請求は、婚約破棄そのものの損害ではありませんが、一緒に請求すればよいでしょう。相手の出してきた念書の内容に納得がいかないのであれば、絶対に署名はしないことです。むしろ、こちらの請求額を算定して、相手に損害賠償請求（プラス生活費未納分の支払請求）をきちんと書面ですることです。

接近禁止命令とおっしゃっていますが、接近禁止命令は裁判所の手続で、裁判所に呼び出されて意見聴取もあったでしょうし、決定書が正式に裁判所から届き、１週間以内に裁判所に抗告（不服申し立て）できますので、おそらくこれは違うと思います。相手方が警察にDVかストーカーの被害があると相談をしただけだと思います。相手方には正式に文書で（できれば内容証明、配達証明付きで）返還請求をすればよいと思います。警察から注意を受けたとしても、こちらに何ら非がないことを説明すればよいと思います。

ご自身で別居先を用意できない場合、まずは、女性センターに相談されるなどして、シェルターに入居されるなどの方法が考えられます。