奥様の退職理由が不明ですが，さしたる理由もなく退職したのだとしたら，潜在的に前職と同水準の収入を稼げる能力があると主張しても不合理ではないと思います。
もっとも，奥様の年齢その他の条件によっては，そもそも同じ業界への再就職が困難であり，現実的に前職と同水準の収入を得られない，ということもあり得るとは思います。

仮に，上記の主張が受け入れられない（裁判所が相当と判断しなかった）場合は，賃金センサス相当の収入を主張して構わないと思います。但し，これも，奥様の退職理由，現在稼働しない理由に関わってくるでしょう。

何にしても，奥様が２年前までフルタイムで勤務していたこと，勤続２０年程度というのは，かなり有利な事情ですので，パートタイマーと同水準の収入しか得られない（稼働能力がない）などということを認める必要はないでしょう。

審判移行の可能性も考慮して，奥様の潜在的稼働能力の主張は客観的証拠を付して行うべきでしょう。

まず，奥様に渡している「カード」を使用できないように，金融機関又はカード会社に紛失の届出をすべきではないかと思います。
そのうえで，適正な金額を「婚姻費用」＝妻子の生活費として奥様に渡し，離婚を求めていく方がいいと思います。
婚姻費用算定にあたっては，あなたが妻子が居住する自宅のローンを支払っている場合は，その点も考慮に入れる必要があります。

とにかく，このままでは，「収入以上に」支出が多い状態が続き，いずれあなたが支払不能に陥ることになるでしょう。
早く手を打った方がよいと思います。

ご自宅については，離婚を求めつつ，退去を求めることになるでしょう。

離婚協議書の内容自体について，元配偶者との間で合意していたのであれば，離婚協議書にサインがないことを理由に合意が無効になるわけではありません。
但し，元配偶者が，「合意した覚えはない。」と言い出した場合，離婚協議書にサインがないので，合意の存在を証明できない，合意したという証拠がない，ということです。

ではどうすればよいかというと，家庭裁判所に，「離婚後の紛争調整調停」を申し立て，元配偶者と合意した内容について，もう一度元配偶者と話し合い，家庭裁判所に書面を作成してもらう，というのがよいと思います。

もちろん，元配偶者が応じないということは考えられますが，あなたが直接元配偶者に対して，離婚協議書へのサインを求めるよりは，家庭裁判所を通じて話し合いを求めた方がうまくいく可能性が高まるのではないでしょうか。

奥様が離婚を同意しない理由は何でしょうか。条件次第では離婚に応じるのかどうかによっても交渉方法が異なるように思います。
ただ，なんにしても，別居を先行しないと奥様と離婚の話をするのは困難なように見受けられます。

気になる点ですが，別居後，お子さんは，どちらが監護されるのでしょうか。
「適切な養育費で合意し」との記載があることからすると，奥様がお子さんを監護して，あなただけが別居するということでしょうか。率直に申し上げて，奥様にお子さんたちを任せるのは危険なように思います。
仮に，あなたがお子さんを連れて別居に踏み切るということであれば，別居後に奥さんから子の引渡しを求められる可能性を考慮し，別居前に，あらかじめ然るべき準備をしておくべきだと思います。準備，というのは，奥様がお子さんに対して「心理的虐待」などをしている証拠の収集，ということです。
また，あなたがお子さんを連れて別居をするご意向があるのであれば，具体的に，どのようにお子さんたちを監護していくのか，予定を立てておくべきでしょう。

婚姻関係が破たんし，夫婦関係の修復が見込めないといいうる期間として，少なくとも3年は必要と考えられます。
但し，これはあくまで原則であり，別居に至った事情や奥様のお考えによって，対応の仕方が変わるように思います。

婚姻期間はどれくらいでしたか？
一般的に，別居を３年以上継続すれば，婚姻関係破綻が認定されやすくなり，仮に，離婚裁判となっても，離婚請求が認められやすくなると言われております。

もっとも，婚姻期間が短い場合は，婚姻関係破綻の認定までに３年を要しないとも考えられております。

要は，あなたたちの婚姻期間が短い場合は，すでに１年別居しているとのことですので，埒が明かない夫との話を続けるより，家庭裁判所に離婚調停を申し立て，調停が不成立となるなら裁判にした方がいいのではないか，ということです。

夫がいう「清算」については，その必要があるのかもよく分かりませんし，清算をしても離婚に応じてくれる保証がないようなので，気にしなくていいと思います。

１　離婚の可否
　　現状，奥様は，別居しているにもかかわらず，「離婚しない」とおっしゃっているようですので，協議離婚（離婚届を出す方法による離婚）は難しそうですね。
　　そうかといって，調停離婚も裁判離婚も，奥様が離婚しないと言っていることに加え，おそらく，奥様はあなたの「不貞」を持ち出し（不貞の証拠がどの程度あるかにもよりますが），責め立てることが予想されますので，やはり少なくとも当分の間は，離婚は難しそうです。
　「８月初旬妻から離婚届けを出された」ことを立証できれば反論可能かと思いますが‥。
２　慰藉料
　　奥様の手持ち証拠次第では，離婚するしないに関わらず，慰謝料請求はされる可能性があります。
３　住宅ローン
　　債務者があなたであれば，離婚後，あなたがご自宅に居住するしないに関わらず，あなたが負担し続けます。
　　奥様が自宅に住み続け，あなたが家を出る場合は，住宅ローンにつき，話し合いが必要でしょうね。
４　親権
　　双方が親権を主張した場合，お子さんの年齢，これまでの監護実績，お子さんの意向等によって変わります。
５　養育費
　　双方の収入に照らし算定されるのが通常です。